برای اینکه نمودار سهمی \(y = (2m + 3)x^2 + 6x + m\) همیشه بالای محور \(x\) باشد، باید شرایط خاصی برای پارامتر \(m\) برقرار باشد.
نمودار سهمی به صورت کلی تابعی از شکل \(y = ax^2 + bx + c\) است. برای اینکه این تابع همیشه بالای محور \(x\) باشد، باید چند شرط را برآورده کند:
1. ضریب \(a (= 2m + 3)\) باید مثبت باشد که نشان دهد سهمی به سمت بالا باز شده است.
2. دلتا (\(Δ\)) معادله باید غیر مثبت باشد تا نمودار هیچ نقطه تقاطع با محور \(x\) نداشته باشد. دلتا برای معادله \(y = ax^2 + bx + c\) به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
Δ = b^2 - 4ac
\]
در اینجا:
- \(a = 2m + 3\)
- \(b = 6\)
- \(c = m\)
حال باید دلتا را محاسبه کنیم:
\[
Δ = 6^2 - 4(2m + 3)(m)
\]
\[
Δ = 36 - 4(2m^2 + 3m)
\]
\[
Δ = 36 - 8m^2 - 12m
\]
برای اینکه نمودار بالا محور \(x\) باشد، باید \(Δ ≤ 0\):
\[
36 - 8m^2 - 12m ≤ 0
\]
این یک معادله مربعی است که میتوان آن را به شکل زیر نوشت:
\[
8m^2 + 12m - 36 ≥ 0
\]
با تقسیم کل معادله بر 4 به سادهتریم فرم میرسیم:
\[
2m^2 + 3m - 9 ≥ 0
\]
حالا باید ریشههای این معادله را پیدا کنیم. برای این کار از فرمول ریشهها استفاده میکنیم:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا:
- \(a = 2\)
- \(b = 3\)
- \(c = -9\)
پس داریم:
\[
Δ = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9)
\]
\[
Δ = 9 + 72 = 81
\]
حالا ریشهها را محاسبه میکنیم:
\[
m = \frac{-3 \pm 9}{4}
\]
دو ریشه خواهیم داشت:
1. \(m_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
2. \(m_2 = \frac{-12}{4} = -3\)
برای تعیین مقادیر \(m\) که \(2m^2 + 3m - 9 ≥ 0\) برقرار باشد، میدانیم که معادله در بازههای زیر مثبت است:
- \(m ≤ -3\)
- \(m ≥ \frac{3}{2}\)
پس نتیجه میگیریم که برای اینکه نمودار سهمی همیشه بالای محور \(x\) باشد، مقدار \(m\) باید کمتر از یا برابر -3 یا بیشتر از یا برابر \(\frac{3}{2}\) باشد.
